streda 20. mája 2015

Riešenie sústavy 2 lineárnych rovníc

Ak riešite jednoduchú rovnicu? Väčšinou máte za úlohu nájsť iba jednu neznámu.

Napríklad  2x + 4 = 0  .  Výsledok je -2.

No niekedy je potrebné v rovniciach určiť viac ako jednu neznámu.
Teraz bude príklad vyzerať takto: 2x + 4y = 0 .

Zadanie tejto rovnice je ale nekorektné. V podstate môže mať až nekonečne veľa riešení a niekedy ani nemusí mať riešenie.

Preto ak máme zadanú rovnicu s dvoma parametrami, musíme riešenie zistiť taktiež pomocou dvoch odlišných rovníc.
Korektné zadanie teda bude:



Poďme tento príklad vypočítať.



Existuje niekoľko spôsobov ako riešiť sústavy rovníc.
Jedná možnosť je vyjadriť si jednu premennú v oboch rovniciach a potom spojiť obidve rovnice a počítať to ako jednu rovnicu.

Pr.1
  
 

Ďalej


Upravíme


Spojíme rovnice za pomoci y
Vychádzame z predpokladu že: 
 
tak

   

obidve strany vynásobíme dvojkou


pripočítame k obidvom stranám 4x


z toho


prvú neznámu máme vypočítanú. Druhú premennú y vypočítame tak, že dosadíme x do ktorejkoľvek rovnice a vypočítaním dostaneme y.
Poznámka: je jedno do ktorej rovnice budeme dosádzať, výsledok musí výjsť vždy rovnaký. 


zoberieme si túto rovnicu a dosadíme   



Dostali sme teda výsledky x=5/3 a y=-5/6



Poďme si ukázať, ako to vyzerá v súradnicovej sústave x,y na grafe.

Vyššie sme si vyjadrili z rovníc obidve y.
Na grafe tieto vyjadrenia znázorňujú jednotlivé funkcie.


modrá priamka znázorňuje    

červená priamka znázorňuje    

Tam kde sa priamky pretli sa nachádza bod A.
Tento bod má konkrétne súradnice.
V tom bode sa červená priamka rovná modrej.
Takže y1 = y2.
To znamená že musí mať súradnice A[x,y].
Ako vidíte x-ová súradnica ukazuje 5/3
A y-ová súradnica ukazuje -5/6

Toto je grafická reprezentácia riešenia sústavy rovníc.






Teraz si ukážeme iný typ príkladu.
Pr.2




Vyriešme túto sústavu.

Výpočet:



Z čoho



Vidíme, že táto rovnica zjavne neplatí. 0 sa nerovná -2.
To znamená, že sústava týchto dvoch lineárnych rovníc nemá riešenie.


Graf znázorňuje obidve rovnice. Vidíme, že tieto rovnice sa nikde nepretnú, nemajú koreň riešenia.
Takže sa nepretli v žiadnom bode, ktorý by reprezentoval x-ovú a y-ovú súradnicu riešenia sústavy.




Môže nastať aj iný prípad, a to konkrétne vtedy ak naopak dostaneme nekonečne veľa riešení.

Pr.3
Majme 2 rovnice:





Upravujeme 2. rovnicu , vynásobíme obidve strany 10




Vydelíme 2. rovnicu 4




V druhej rovnici presunieme x na pravú stranu



Dostávame tú istú rovnicu z ktorej dostaneme



Po úprave vypadne x



Tento stav platí vždy, je to vždy pravdivý výrok.
Riešenie obsahuje nekonečne veľa možností. Pre akékoľvek x bude tento výrok pravdivý.


V grafe je pretnutých nekonečne veľa bodov, ktoré reprezentujú svojou polohou A[x,y] možné riešenia - v tomto prípade je možných riešení nekonečne veľa.