pondelok 25. mája 2015

Kvadratická rovnica a jej riešenie

Dnes si povieme niečo o kvadratickej rovnici.
Poďme sa pozrieť, aký ma vlastne predpis táto rovnica.

Predpis:   

Poďme si vysvetliť, čo tie písmena vlastne znamenajú:
a,b,c sú parametre - väčšinou zadané
x - je premenná alebo neznáma, ktorú máme vypočítať
parameter a musí byť rôzny od nuly
ostatné parametre b,c môžu byť rôzne

Poznámka: ak by sa parameter a rovnal nule, potom by to už nebola kvadratická rovnica pretože:

      je totožné s      a práve toto je už lineárna rovnica

Kvadratická sa nazýva práve kvôli členu  

Najjednoduchšia kvadratická funkcia vyzerá takto , 



_________________________________________________________________________


Zložitejšia kvadratická funkcia by mohla vyzerať:



______________________________________________________________________

Ako menia dané parametre vzhľad kvadratickej funkcie?

  Poďme sa riadiť predpisom:  

Parameter a  

-rozhoduje o strmosti krivky, čím väčší parameter, tým funkcia rýchlejšie "vystrelí" do hora. Ak je parameter menší, funkcii sa "vystrelí" pomaly.

Každopádne, hovoriť o tom či je parameter a veľký alebo malý je subjektívna záležitosť, preto si poďme na jednoduchej funkcii   ukázať, ako sa jej krivka mení.

Pre jednoduchosť zvolím za prvý parameter   a potom 

                                                              
                                                           Graf pre                                                           


 Graf pre  

Ak je parameter a kladný, funkcia má minimum vo vrchole. 
Krivka kladného parametra a pripomína usmievavého smajlíka
Krivka záporného parametra a pripomína mračiacého sa smajlíka  



Parameter b

- rozhoduje o posune krivky naľavo alebo napravo po osi x
- rozhoduje o vzdialenosti medzi koreňmi (ak sú)

Parameter c

- rozhoduje o posune krivky hore alebo dole po osi y



Rozklad kvadratickej rovnice na "štvorec"

Kedže sa to slovami opisuje veľmi ťažko, ukážeme si to na nasledujúcom príklade:

KROK Č.1
pred   musíme mať vždy 1
v tomto prípade tam jednotku nemáme, musíme vyňať 2 pred zátvorku
POZOR! nikdy nie deliť rovnicu dvomi!!!


KROK Č.2
pričítame a znovu odčítame druhú mocninu polovice parametra b
Takže urobíme toto:
polovica z b je

umocníme na druhú   

Dostali sme číslo 

KROK Č.3

Teraz ideme toto číslo pričítať a znova odčítať do rovnice


vidíme, že čísla sa nám vynulujú a teda nič sme v rovnici nepokazili

KROK Č.4
predošlí krok sme urobili z jedného dôvodu. A to z toho, aby sme dostali vzorec 
resp. 
V tomto prípade, hneď na začiatku máme výraz 



Tento výraz si vieme zapísať ako: 


KROK Č.5

Pokračujeme s úpravami. Dostali sme:



Vnútro zátvorky si trochu upravíme :






KROK Č.6
Roznásobíme zátvorku



upravíme



Dámi a Páni, nájdeme x-ový a y-ovú zložku vrchola :

x-ová sa nachádza v zátvorke, pýtam sa : Čo musím dosadiť za x aby zátvorka vyšla 0 ?
Jediné možné riešenie pre x: je 

Ďalej hľadáme y-ovú zložku vrchola. Na konci nám ostalo číslo. Toto je číslo, ktoré hľadáme:



Takže ZÁVER: Vrchol má súradnice